画像には以下の極限を求める5つの問題があります。 (5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x}$ (7) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ (8) $\lim_{x \to 0^+} x \log x$ (9) $\lim_{x \to \infty} x^2 (\log \sqrt{x^2+3} - \log x)$

はい、承知いたしました。画像に示された極限の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には以下の極限を求める5つの問題があります。

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x}$

(7) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

(8) $\lim_{x \to 0^+} x \log x$

(9) $\lim_{x \to \infty} x^2 (\log \sqrt{x^2+3} - \log x)$

2. 解き方の手順

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$

分母分子に$\sqrt{x+4}+2$をかけます。

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$

$x$ に 0 を代入すると、$\frac{1}{\sqrt{0+4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{2x}{\tan 2x} \cdot \frac{3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\tan 2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3}{2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$を利用します。

$1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

(7) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x^2 (1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos x}$

$= 1^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos 0} = 1 \cdot \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

(8) $\lim_{x \to 0^+} x \log x$

$x = \frac{1}{t}$ と置換すると、$x \to 0^+$ のとき、$t \to \infty$ となります。

$\lim_{x \to 0^+} x \log x = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \log \frac{1}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-\log t}{t}$

ロピタルの定理より、$\lim_{t \to \infty} \frac{-\log t}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-1/t}{1} = 0$

(9) $\lim_{x \to \infty} x^2 (\log \sqrt{x^2+3} - \log x)$

$\lim_{x \to \infty} x^2 (\log \sqrt{x^2+3} - \log x) = \lim_{x \to \infty} x^2 (\log \frac{\sqrt{x^2+3}}{x}) = \lim_{x \to \infty} x^2 (\log \sqrt{\frac{x^2+3}{x^2}}) = \lim_{x \to \infty} x^2 (\log \sqrt{1+\frac{3}{x^2}}) = \lim_{x \to \infty} x^2 \log (1+\frac{3}{x^2})^{1/2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} x^2 \log (1+\frac{3}{x^2})$

ここで、$u = \frac{3}{x^2}$ と置換すると、$x \to \infty$ のとき $u \to 0$ となり、$x^2 = \frac{3}{u}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} x^2 \log (1+\frac{3}{x^2}) = \lim_{u \to 0} \frac{1}{2} \frac{3}{u} \log (1+u) = \lim_{u \to 0} \frac{3}{2} \frac{\log (1+u)}{u}$

$\lim_{u \to 0} \frac{\log (1+u)}{u} = 1$ であるから、$\frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(5) $\frac{1}{4}$

(6) $\frac{3}{2}$

(7) $\frac{1}{2}$

(8) $0$

(9) $\frac{3}{2}$