方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ が、開区間 $(0, 1)$ において実数解を持つことを示す問題です。

1. 問題の内容

方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ が、開区間 $(0, 1)$ において実数解を持つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

中間値の定理を利用します。

まず、関数 $f(x) = (x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1$ を定義します。$f(x)$ は連続関数です。

次に、$f(0)$ と $f(1)$ の符号を調べます。

$f(0) = (0^2 - 1)\cos 0 + \sqrt{2}\sin 0 - 1 = (-1)(1) + \sqrt{2}(0) - 1 = -1 - 1 = -2 < 0$

$f(1) = (1^2 - 1)\cos 1 + \sqrt{2}\sin 1 - 1 = (0)\cos 1 + \sqrt{2}\sin 1 - 1 = \sqrt{2}\sin 1 - 1$

$\sin 1$ の値は、1 ラジアンにおける正弦の値です。$1$ ラジアンは約 $57.3$ 度なので、$0 < 1 < \frac{\pi}{2}$ であることがわかります。

$\sin x$ は $(0, \frac{\pi}{2})$ で増加関数なので、$\sin 1 > 0$ です。

また、$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ なので、$\sin 1$ は $0.707$ より大きく、$1$ より小さい値であると考えられます。

$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.

$f(1) = \sqrt{2}\sin 1 - 1 > \sqrt{2} * 0 - 1 = -1$

$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ より $1 < \frac{\pi}{2}$ なので、$\sin 1 < 1$ となります。

$\sin 1 > \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ より、$\sqrt{2}\sin 1 > \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1$

したがって、 $f(1) = \sqrt{2}\sin 1 - 1 > 1-1 = 0$

$f(0) = -2 < 0$ であり、$f(1) = \sqrt{2} \sin 1 - 1 > 0$ なので、中間値の定理より、開区間 $(0, 1)$ に $f(x) = 0$ となる実数 $c$ が少なくとも1つ存在します。

したがって、方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ は、開区間 $(0, 1)$ において実数解を持つことが示されました。

3. 最終的な答え

方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ は、開区間 $(0, 1)$ において実数解を持つ。