関数 $f(x) = \int_{-x}^{2x} t \sin t \, dt$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 導関数 $f'(x)$ を求めよ。 (2) $0 \le x \le \pi$ において、$f(x)$ が最大値をとる $x$ の値を $\alpha$ とするとき、$\cos \alpha$ の値を求めよ。 (3) $0 \le x \le \pi$ において、$f(x)$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \int_{-x}^{2x} t \sin t \, dt$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 導関数 $f'(x)$ を求めよ。

(2) $0 \le x \le \pi$ において、$f(x)$ が最大値をとる $x$ の値を $\alpha$ とするとき、$\cos \alpha$ の値を求めよ。

(3) $0 \le x \le \pi$ において、$f(x)$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

まず、積分の中身の関数を $g(t) = t \sin t$ とおく。

積分区間の上限が $2x$ 、下限が $-x$ であることに注意して、微分積分学の基本定理と合成関数の微分を用いると、

$f'(x) = g(2x) \cdot (2x)' - g(-x) \cdot (-x)' = (2x) \sin(2x) \cdot 2 - (-x) \sin(-x) \cdot (-1)$

$= 4x \sin(2x) - x \sin(-x) = 4x \sin(2x) + x \sin x$

$= 4x (2 \sin x \cos x) + x \sin x = 8x \sin x \cos x + x \sin x$

$= x \sin x (8 \cos x + 1)$.

(2) $0 \le x \le \pi$ において、$f(x)$ が最大値をとる $x$ の値を $\alpha$ とするとき、$\cos \alpha$ の値を求める。

$f'(x) = x \sin x (8 \cos x + 1)$ であり、$0 \le x \le \pi$ で $f(x)$ が最大値をとる条件を考える。

$0 < x < \pi$ において、$\sin x > 0$ であるから、$f'(x) = 0$ となるのは、$8 \cos x + 1 = 0$ のときである。

したがって、$\cos x = - \frac{1}{8}$ 。$x = \alpha$ とすると $\cos \alpha = -\frac{1}{8}$.

(3) $0 \le x \le \pi$ において、$f(x)$ の最小値を求める。

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, \pi, \alpha$ のときである。

$f(0) = \int_{0}^{0} t \sin t \, dt = 0$.

$f(\pi) = \int_{-\pi}^{2\pi} t \sin t \, dt = \int_{-\pi}^{2\pi} t (-\cos t)' \, dt = [ -t \cos t ]_{-\pi}^{2\pi} - \int_{-\pi}^{2\pi} (-\cos t) \, dt$

$= (-2\pi \cos 2\pi) - (\pi \cos (-\pi)) + \int_{-\pi}^{2\pi} \cos t \, dt = -2\pi - (-\pi) + [\sin t]_{-\pi}^{2\pi} = -2\pi + \pi + (\sin 2\pi - \sin (-\pi))$

$= -\pi + (0 - 0) = -\pi$.

$f(\alpha) = \int_{-\alpha}^{2\alpha} t \sin t \, dt = \int_{-\alpha}^{2\alpha} t (-\cos t)' \, dt = [ -t \cos t ]_{-\alpha}^{2\alpha} - \int_{-\alpha}^{2\alpha} (-\cos t) \, dt$

$= (-2\alpha \cos 2\alpha) - (\alpha \cos (-\alpha)) + \int_{-\alpha}^{2\alpha} \cos t \, dt = -2\alpha \cos 2\alpha + \alpha \cos \alpha + [\sin t]_{-\alpha}^{2\alpha} = -2\alpha \cos 2\alpha + \alpha \cos \alpha + \sin 2\alpha - \sin (-\alpha)$

$= -2\alpha \cos 2\alpha + \alpha \cos \alpha + \sin 2\alpha + \sin \alpha$

$\cos \alpha = -\frac{1}{8}$ より、$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{64}} = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$.

$f(\alpha) = -2\alpha (2\cos^2 \alpha - 1) + \alpha \cos \alpha + 2\sin\alpha \cos \alpha + \sin\alpha = -4\alpha \cos^2 \alpha + 2\alpha + \alpha \cos \alpha + 2\sin\alpha \cos \alpha + \sin\alpha$

$= -4\alpha \frac{1}{64} + 2\alpha - \alpha \frac{1}{8} + 2 \frac{3\sqrt{7}}{8} (-\frac{1}{8}) + \frac{3\sqrt{7}}{8} = -\frac{\alpha}{16} + 2\alpha - \frac{\alpha}{8} - \frac{3\sqrt{7}}{32} + \frac{3\sqrt{7}}{8}$

$= \alpha (2 - \frac{1}{16} - \frac{1}{8}) + \frac{3\sqrt{7}}{8} - \frac{3\sqrt{7}}{32} = \alpha (2 - \frac{3}{16}) + \frac{9\sqrt{7}}{32} = \frac{29\alpha}{16} + \frac{9\sqrt{7}}{32}$.

$f(\pi) = -\pi$, $f(0) = 0$. $\alpha$は $0$と$\pi$の間なので、$f(\alpha) = \frac{29\alpha}{16} + \frac{9\sqrt{7}}{32} > 0$. よって、最小値は $-\pi$.

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = x \sin x (8 \cos x + 1)$

(2) $\cos \alpha = -\frac{1}{8}$

(3) 最小値: $-\pi$