曲線 $C: y = \sqrt{x-1}$ が与えられている。 (1) 曲線 $C$ に引いた接線のうち、原点を通る接線 $l$ の方程式を求める。 (2) 曲線 $C$, 接線 $l$, および $x$ 軸で囲まれる図形 $S$ を $x$ 軸の周りに1回転させて得られる立体の体積 $V_1$ を求める。$\frac{V_1}{\pi}$ の値を答える。 (3) 図形 $S$ を $y$ 軸の周りに1回転させて得られる立体の体積 $V_2$ を求める。$\frac{V_2}{\pi}$ の値を答える。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = \sqrt{x-1}$ が与えられている。

(1) 曲線 $C$ に引いた接線のうち、原点を通る接線 $l$ の方程式を求める。

(2) 曲線 $C$, 接線 $l$, および $x$ 軸で囲まれる図形 $S$ を $x$ 軸の周りに1回転させて得られる立体の体積 $V_1$ を求める。$\frac{V_1}{\pi}$ の値を答える。

(3) 図形 $S$ を $y$ 軸の周りに1回転させて得られる立体の体積 $V_2$ を求める。$\frac{V_2}{\pi}$ の値を答える。

2. 解き方の手順

(1)

曲線 $C$ 上の点 $(t, \sqrt{t-1})$ における接線を考える。

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$ より、接線の方程式は、

$y - \sqrt{t-1} = \frac{1}{2\sqrt{t-1}}(x - t)$

この直線が原点を通るので、$x=0, y=0$ を代入すると、

$-\sqrt{t-1} = \frac{1}{2\sqrt{t-1}}(-t)$

$-2(t-1) = -t$

$-2t + 2 = -t$

$t = 2$

よって、接点の座標は $(2, 1)$。

接線の傾きは $\frac{1}{2\sqrt{2-1}} = \frac{1}{2}$。

したがって、接線 $l$ の方程式は $y = \frac{1}{2}x$。

(2)

曲線 $C: y = \sqrt{x-1}$ と直線 $l: y = \frac{1}{2}x$ と $x$ 軸で囲まれた図形 $S$ を考える。

$y = \sqrt{x-1}$ と $y = \frac{1}{2}x$ の交点を求める。

$\sqrt{x-1} = \frac{1}{2}x$

$x-1 = \frac{1}{4}x^2$

$4x - 4 = x^2$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

$x = 2$

$y = 1$

よって、交点は $(2, 1)$。

求める体積 $V_1$ は、

$V_1 = \pi \int_1^2 (\sqrt{x-1})^2 dx - \pi \int_0^2 (\frac{1}{2}x)^2 dx$

$= \pi \int_1^2 (x-1) dx - \pi \int_0^2 \frac{1}{4}x^2 dx$

$= \pi [\frac{1}{2}x^2 - x]_1^2 - \pi [\frac{1}{12}x^3]_0^2$

$= \pi [(\frac{1}{2}(4) - 2) - (\frac{1}{2} - 1)] - \pi [\frac{8}{12} - 0]$

$= \pi [(2-2) - (-\frac{1}{2})] - \pi [\frac{2}{3}]$

$= \pi [\frac{1}{2}] - \pi [\frac{2}{3}]$

$= \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi - 4\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$

ただし、体積が負になることはないので、計算ミスがある。

$V_1 = \pi \int_1^2 (x-1) dx - \pi \int_0^2 (\frac{1}{2}x)^2 dx = \pi \int_1^2 (\sqrt{x-1})^2 dx - \pi \int_0^2 (\frac{1}{2}x)^2 dx$

$S$ を $x$ 軸の周りに1回転させて得られる立体の体積を正しく計算すると

$V_1= \pi \int_1^2 (\sqrt{x-1})^2 dx - \pi \int_0^2 (\frac{1}{2}x)^2 dx$

$V_1 = \pi [\frac{1}{2}x^2-x]_1^2 - \pi [\frac{x^3}{12}]_0^2 = \pi [2-2-\frac{1}{2}+1] - \pi [\frac{8}{12}-0]$

$V_1 = \pi [\frac{1}{2}] - \pi [\frac{2}{3}] = (\frac{1}{2} - \frac{2}{3})\pi = (\frac{3-4}{6})\pi=-\frac{\pi}{6}$.

積分区間を変えて符号が正になるようにする．

$V_1 = \pi \int_0^2 (\frac{1}{2}x)^2 dx - \pi \int_1^2 (\sqrt{x-1})^2 dx$

= $(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})\pi = \frac{\pi}{6}$

$\frac{V_1}{\pi} = \frac{1}{6}$

(3)

$S$ を $y$ 軸の周りに1回転させて得られる立体の体積 $V_2$ を求める。

$y = \sqrt{x-1}$ を $x$ について解くと $x = y^2 + 1$。

$V_2 = 2\pi \int_0^1 x(y) (\frac{x}{2} - y^2 - 1)dy$

区間を分けて積分をすると

$V_2 = \int_{0}^{1} 2\pi y ((2y^2)- (y^2+1)) dy$

$V_2 = 2\pi \int_{0}^{1} y(x-x(y)) dy = \int_{0}^{1} 2\pi x (\frac{x}{2} - \sqrt{x-1}) dx$

$V_2 = 2\pi (\int_{0}^{2}x (\frac{x}{2})dx -\int_{1}^{2} x \sqrt{x-1} dx) = 2 \pi (V_1)$

または，積分範囲に注意し，置換積分を使用すると

$V_2 = 2 \pi \int_0^1 y((y^2 + 1)-2y) dy = 2\pi (\int_{0}^{1}(y^3 +y-2y^2)dy = 2\pi (\int_0^1(y^3+y)dy - 2 \int_0^1y^2dy )= 2 \pi ([\frac{1}{4}+\frac{1}{2}]-2[\frac{1}{3}] = 2\pi[\frac{3}{4}-\frac{2}{3}] = \pi [3 \frac{3-2}{6}]= \pi [\frac{1}{6}]$

$V_2 = 2\pi (\frac{1}{4}+ \frac{1}{2}) - \frac{4\pi}{3} = 2\pi (\frac{3}{4}) - \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$

$x = y^2 + 1$, $x = 2y$

$V_2 = \pi \int_0^1 (y^2+1)^2 dy - \pi \int_0^1 (2y)^2 dy$

$= \pi \int_0^1 (y^4 + 2y^2 + 1) dy - \pi \int_0^1 4y^2 dy$

$= \pi [\frac{1}{5}y^5 + \frac{2}{3}y^3 + y]_0^1 - \pi [\frac{4}{3}y^3]_0^1$

$= \pi (\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1) - \pi (\frac{4}{3})$

$= \pi (\frac{3+10+15}{15}) - \pi (\frac{20}{15})$

$= \pi (\frac{28}{15}) - \pi (\frac{20}{15}) = \frac{8\pi}{15}$

$\frac{V_2}{\pi} = \frac{8}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x$

(2) $\frac{V_1}{\pi} = \frac{1}{6}$

(3) $\frac{V_2}{\pi} = \frac{8}{15}$