$\int \tan^4 x \, dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \tan^4 x \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$\tan^4 x$ を $\tan^2 x$ を用いて分解する。

$\int \tan^4 x \, dx = \int \tan^2 x \cdot \tan^2 x \, dx$

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を用いて、$\tan^2 x$を書き換える。

$\int \tan^2 x \cdot \tan^2 x \, dx = \int \tan^2 x \cdot (\sec^2 x - 1) \, dx$

$\int \tan^2 x (\sec^2 x - 1) \, dx = \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx - \int \tan^2 x \, dx$

$\int \tan^2 x \sec^2 x \, dx$ について、$u = \tan x$ と置換すると、$du = \sec^2 x \, dx$ となる。したがって、

$\int \tan^2 x \sec^2 x \, dx = \int u^2 \, du = \frac{1}{3}u^3 + C = \frac{1}{3}\tan^3 x + C$

$\int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \, dx = \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx = \tan x - x + C$

したがって、

$\int \tan^4 x \, dx = \frac{1}{3} \tan^3 x - (\tan x - x) + C = \frac{1}{3} \tan^3 x - \tan x + x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \tan^3 x - \tan x + x + C$