SENSEI AI
About App

与えられた数式の値を計算します。数式は以下の通りです。 $\log_2 10 \cdot \log_5 10 - (\log_2 5 + \log_5 2)$

解析学対数底の変換公式計算
2025/6/10

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は以下の通りです。
log⁡210⋅log⁡510−(log⁡25+log⁡52)\log_2 10 \cdot \log_5 10 - (\log_2 5 + \log_5 2)

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を利用します。底の変換公式は log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} です。ここでは、底を10に変換します。
log⁡210=log⁡1010log⁡102=1log⁡102\log_2 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 2} = \frac{1}{\log_{10} 2}
log⁡510=log⁡1010log⁡105=1log⁡105\log_5 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 5} = \frac{1}{\log_{10} 5}
log⁡25=log⁡105log⁡102\log_2 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2}
log⁡52=log⁡102log⁡105\log_5 2 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 5}
与えられた数式に代入します。
1log⁡102⋅1log⁡105−(log⁡105log⁡102+log⁡102log⁡105)\frac{1}{\log_{10} 2} \cdot \frac{1}{\log_{10} 5} - (\frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} + \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 5})
1log⁡102⋅log⁡105−((log⁡105)2+(log⁡102)2log⁡102⋅log⁡105)\frac{1}{\log_{10} 2 \cdot \log_{10} 5} - (\frac{(\log_{10} 5)^2 + (\log_{10} 2)^2}{\log_{10} 2 \cdot \log_{10} 5})
1−((log⁡105)2+(log⁡102)2)log⁡102⋅log⁡105\frac{1 - ((\log_{10} 5)^2 + (\log_{10} 2)^2)}{\log_{10} 2 \cdot \log_{10} 5}
ここで、log⁡105=log⁡10(10/2)=log⁡1010−log⁡102=1−log⁡102\log_{10} 5 = \log_{10} (10/2) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 を利用します。
1−((1−log⁡102)2+(log⁡102)2)log⁡102⋅(1−log⁡102)\frac{1 - ((1 - \log_{10} 2)^2 + (\log_{10} 2)^2)}{\log_{10} 2 \cdot (1 - \log_{10} 2)}
1−(1−2log⁡102+(log⁡102)2+(log⁡102)2)log⁡102−(log⁡102)2\frac{1 - (1 - 2\log_{10} 2 + (\log_{10} 2)^2 + (\log_{10} 2)^2)}{\log_{10} 2 - (\log_{10} 2)^2}
1−1+2log⁡102−2(log⁡102)2log⁡102−(log⁡102)2\frac{1 - 1 + 2\log_{10} 2 - 2(\log_{10} 2)^2}{\log_{10} 2 - (\log_{10} 2)^2}
2log⁡102−2(log⁡102)2log⁡102−(log⁡102)2\frac{2\log_{10} 2 - 2(\log_{10} 2)^2}{\log_{10} 2 - (\log_{10} 2)^2}
2(log⁡102−(log⁡102)2)log⁡102−(log⁡102)2\frac{2(\log_{10} 2 - (\log_{10} 2)^2)}{\log_{10} 2 - (\log_{10} 2)^2}
=2= 2

3. 最終的な答え

2

「解析学」の関連問題

関数 $y = -\sin x + \cos x$ ($0 \le x < 2\pi$) の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

三角関数関数の合成最大値最小値微分
2025/6/12

$0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} = 1$ を解け。 ただし、問題文には $2\sin{(\theta - \frac{\pi}{...

三角関数三角方程式三角不等式関数の最大最小三角関数の合成
2025/6/12

次の極限値を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin x - x}$

極限テイラー展開三角関数sin
2025/6/12

与えられたグラフは $y = a + b\sin(cx+d)$ ($b>0, c>0, 0 \le d < 2\pi$) のグラフの一部である。グラフから $a, b, c, d, x_1, x_2$...

三角関数グラフ振幅周期位相
2025/6/12

正の整数 $n$ に対し、$y = n - x^2$ で表されるグラフと $x$ 軸で囲まれる領域を考える。この領域の内部および周に含まれ、$x, y$ 座標がともに整数である点の個数を $a(n)$...

積分整数格子点極限級数
2025/6/12

座標平面上の放物線 $y = px^2 + qx + r$ を C とし、直線 $y = 2x - 1$ を l とする。C は点 A(1, 1) において l と接している。 (1) q と r を...

微分積分接線面積極値放物線
2025/6/12

関数 $y = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$ を微分せよ。

微分関数の微分合成関数の微分ルート
2025/6/12

関数 $y = \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}$ を微分してください。

微分対数微分法関数の微分
2025/6/12

関数 $f(x)=\sqrt{2x+1}$ に対して、数列 $\{a_n\}$ を $a_1=3$, $a_{n+1} = f(a_n)$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義する。方程式...

数列極限数学的帰納法単調性収束
2025/6/12

与えられた関数の微分を求める問題です。関数は $y = \sqrt{2 - \sqrt{3x}}$ で定義されています。

微分合成関数の微分連鎖律関数の微分
2025/6/12