与えられた3つの関数を微分する問題です。 (1) $y = (5x-2)^3$ (2) $y = (2x-1)(3x^2 - x)$ (3) $y = \frac{x-1}{x+1}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を微分する問題です。

(1) $y = (5x-2)^3$

(2) $y = (2x-1)(3x^2 - x)$

(3) $y = \frac{x-1}{x+1}$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分を使います。$y = u^3$ と $u = 5x - 2$ とおくと、$dy/dx = (dy/du) \cdot (du/dx)$ となります。

$dy/du = 3u^2 = 3(5x-2)^2$

$du/dx = 5$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3(5x-2)^2 \cdot 5 = 15(5x-2)^2$

(2) 積の微分を使います。$y = uv$ とおくと、$dy/dx = u'v + uv'$ となります。

$u = 2x - 1$, $v = 3x^2 - x$ とおくと、

$u' = 2$, $v' = 6x - 1$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2(3x^2 - x) + (2x - 1)(6x - 1) = 6x^2 - 2x + 12x^2 - 2x - 6x + 1 = 18x^2 - 10x + 1$

(3) 商の微分を使います。$y = \frac{u}{v}$ とおくと、$dy/dx = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ となります。

$u = x - 1$, $v = x + 1$ とおくと、

$u' = 1$, $v' = 1$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1(x+1) - (x-1)1}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 15(5x-2)^2$

(2) $\frac{dy}{dx} = 18x^2 - 10x + 1$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x+1)^2}$