与えられた極限を計算する問題と、与えられた関数が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。具体的には、以下の問題を解きます。 (1) $\lim_{x \to -0} \tan^{-1} \frac{1}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x^5}{4x^2 - x^3}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x}$ (4) $\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin x}{x}$ また、関数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$ が $x=0$ で連続かどうかを調べます。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題と、与えられた関数が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。具体的には、以下の問題を解きます。

(1) $\lim_{x \to -0} \tan^{-1} \frac{1}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x^5}{4x^2 - x^3}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x}$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin x}{x}$

また、関数

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

が $x=0$ で連続かどうかを調べます。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to -0} \tan^{-1} \frac{1}{x}$

$x$ が $0$ に負の方向から近づくとき、$\frac{1}{x}$ は $-\infty$ に近づきます。したがって、

$\lim_{x \to -0} \tan^{-1} \frac{1}{x} = \tan^{-1} (-\infty) = -\frac{\pi}{2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x^5}{4x^2 - x^3}$

分子と分母を $x^2$ で割ると

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x^5}{4x^2 - x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + 3x^3}{4 - x} = \frac{1 + 0}{4 - 0} = \frac{1}{4}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ であることを利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\tan x}{x}} = \frac{1}{1} = 1$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin x}{x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{\sin x}{x} \right)$

$-1 \le \sin x \le 1$ であるから、$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$ となり、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$ となります（はさみうちの原理）。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin x}{x} = 1 - 0 = 1$

関数 $f(x)$ の連続性について

$f(0) = 0$ です。

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ は存在しません。なぜなら、$x \to +0$ のとき $\frac{1}{x} \to +\infty$、$x \to -0$ のとき $\frac{1}{x} \to -\infty$ だからです。したがって、$f(x)$ は $x=0$ で連続ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to -0} \tan^{-1} \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x^5}{4x^2 - x^3} = \frac{1}{4}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin x}{x} = 1$

関数 $f(x)$ は $x=0$ で不連続です。