問題13は、$x = e^t$、$y = e^{-t}$ であるとき、$\frac{dy}{dx}$ および $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表す問題です。

1. 問題の内容

問題13は、$x = e^t$、$y = e^{-t}$ であるとき、$\frac{dy}{dx}$ および $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表す問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{dy}{dx}$ を求める。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^t) = e^t$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{-t}) = -e^{-t}$

$\frac{dy}{dx}$ は $\frac{dy/dt}{dx/dt}$ で計算できます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{-e^{-t}}{e^t} = -e^{-2t}$

(2) $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx}(-e^{-2t})$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}$

$\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt}(-e^{-2t}) = 2e^{-2t}$

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{e^t} = e^{-t}$

したがって、

$\frac{d^2y}{dx^2} = 2e^{-2t} \cdot e^{-t} = 2e^{-3t}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -e^{-2t}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = 2e^{-3t}$