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$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1$ であるとき、$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}}$ を示す問題です。

解析学陰関数微分微分分数指数
2025/4/29

1. 問題の内容

x23+y23=1x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1 であるとき、dydx=−(yx)13\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}} を示す問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式 x23+y23=1x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1 を xx について陰関数微分します。
ddx(x23+y23)=ddx(1)\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}) = \frac{d}{dx}(1)
23x−13+23y−13dydx=0\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx} = 0
23y−13dydx=−23x−13\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}
dydx=−x−13y−13\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{3}}}
dydx=−y13x13\frac{dy}{dx} = -\frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}
dydx=−(yx)13\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}}

3. 最終的な答え

dydx=−(yx)13\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}}

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