与えられた無限級数の和を求めます。級数は次のようになります。 $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{n(n+2)} + \cdots$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求めます。級数は次のようになります。

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{n(n+2)} + \cdots$

2. 解き方の手順

この級数の一般項 $\frac{1}{n(n+2)}$ を部分分数分解します。つまり、定数 $A$ と $B$ を見つけて、次のように表します。

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$

両辺に $n(n+2)$ を掛けると、

$1 = A(n+2) + Bn$

$1 = (A+B)n + 2A$

この等式がすべての $n$ について成り立つためには、次の連立方程式が成り立ちます。

$A+B = 0$

$2A = 1$

この連立方程式を解くと、$A = \frac{1}{2}$ と $B = -\frac{1}{2}$ が得られます。したがって、

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

与えられた級数の部分和 $S_n$ を計算します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

この和は伸縮和の形になるので、

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) \right]$

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$

与えられた無限級数の和は、部分和 $S_n$ の $n \to \infty$ の極限です。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - 0 - 0 \right) = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$