与えられた積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を扱いやすい形に変形します。

$\sqrt{x^3}$ は $x^{\frac{3}{2}}$ と書けるので、

$\frac{1}{\sqrt{x^3}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}}$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int x^{-\frac{3}{2}} dx$

次に、べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用います。

ここで $n = -\frac{3}{2}$ なので、

$n+1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$ となります。

したがって、

$\int x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C = -2x^{-\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{\sqrt{x}} + C$