関数 $y = e^{2x}$ のマクローリン級数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{2x}$ のマクローリン級数を求めよ。

2. 解き方の手順

マクローリン級数は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開したテイラー級数のことです。

マクローリン級数は、

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

で与えられます。

今回の問題では、$f(x) = e^{2x}$ なので、各階の導関数を計算して、$x=0$ での値を求めます。

$f(x) = e^{2x}$

$f'(x) = 2e^{2x}$

$f''(x) = 4e^{2x}$

$f'''(x) = 8e^{2x}$

一般的に、$f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}$ となります。

したがって、$x=0$ での各階導関数の値は、

$f(0) = e^{2\cdot 0} = e^0 = 1$

$f'(0) = 2e^{2\cdot 0} = 2e^0 = 2$

$f''(0) = 4e^{2\cdot 0} = 4e^0 = 4$

$f'''(0) = 8e^{2\cdot 0} = 8e^0 = 8$

一般的に、$f^{(n)}(0) = 2^n e^{2\cdot 0} = 2^n e^0 = 2^n$ となります。

これらをマクローリン級数の式に代入すると、

$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} x^n = 1 + 2x + \frac{4}{2!}x^2 + \frac{8}{3!}x^3 + \dots$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!}$

3. 最終的な答え

$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!}$