和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を求めます。

1. 問題の内容

和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、和の中の項を有利化します。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} \cdot \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}$

$= \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{(k+2) - (k+3)} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{-1} = \sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}$

したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2})$

$= (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) + \cdots + (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+2})$

これは望遠鏡和なので、

$= \sqrt{n+3} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+3} - \sqrt{3}$