$\int_{1}^{4} x \log x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{4} x \log x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = \log x$, $dv = x dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

したがって、

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} dx$

$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} x \log x dx = \left[\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}\right]_{1}^{4}$

$= \left(\frac{4^2}{2} \log 4 - \frac{4^2}{4}\right) - \left(\frac{1^2}{2} \log 1 - \frac{1^2}{4}\right)$

$= \left(8 \log 4 - 4\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right)$

$= 8 \log 4 - 4 + \frac{1}{4}$

$= 8 \log 4 - \frac{15}{4}$

$= 8 \log 2^2 - \frac{15}{4}$

$= 16 \log 2 - \frac{15}{4}$

3. 最終的な答え

$16 \log 2 - \frac{15}{4}$