$\int \frac{dx}{1 - \sin x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{1 - \sin x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分子と分母に $1 + \sin x$ を掛けます。

$$\int \frac{dx}{1 - \sin x} = \int \frac{1 + \sin x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} dx = \int \frac{1 + \sin x}{1 - \sin^2 x} dx$$

三角関数の恒等式 $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ を使うと、

$$\int \frac{1 + \sin x}{\cos^2 x} dx = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} \right) dx$$

$$\int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} \right) dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx + \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$$

ここで、$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x$ です。

また、$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$ については、$u = \cos x$ と置換すると、$du = - \sin x dx$ なので、

$$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{-du}{u^2} = \int -u^{-2} du = -(-u^{-1}) + C = \frac{1}{u} + C = \frac{1}{\cos x} + C$$

したがって、

$$\int \frac{dx}{1 - \sin x} = \tan x + \frac{1}{\cos x} + C = \tan x + \sec x + C$$

3. 最終的な答え

$\tan x + \sec x + C$