次の関数を微分せよ。 (1) $y = \log(2x+1)$ (2) $y = (\log x)^3$ (3) $y = x^2 \log x$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \log(2x+1)$

(2) $y = (\log x)^3$

(3) $y = x^2 \log x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \log(2x+1)$ の微分

$\log$ の微分公式 $(\log t)' = \frac{1}{t}t'$ を用いる。

$t = 2x+1$ とすると、$y = \log t$ である。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx}$ より、

$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t}$ であり、$\frac{dt}{dx} = 2$ である。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{t} \cdot 2 = \frac{2}{2x+1}$

(2) $y = (\log x)^3$ の微分

$t = \log x$ とすると、$y = t^3$ である。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx}$ より、

$\frac{dy}{dt} = 3t^2$ であり、$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$ である。

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3t^2 \cdot \frac{1}{x} = 3 (\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3(\log x)^2}{x}$

(3) $y = x^2 \log x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = x^2$, $v = \log x$ とすると、$u' = 2x$, $v' = \frac{1}{x}$ である。

よって、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{2x+1}$

(2) $\frac{3(\log x)^2}{x}$

(3) $x(2\log x + 1)$