$\sqrt{2}(\sin x + \cos x) > 1$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}(\sin x + \cos x) > 1$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺を三角関数の合成を用いて整理します。

$\sin x + \cos x$ を $r \sin(x+\alpha)$ の形に変形することを考えます。

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ であり、

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{4}$ です。

したがって、

$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$

と表すことができます。

元の不等式に代入すると、

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) > 1$

$2 \sin(x + \frac{\pi}{4}) > 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) > \frac{1}{2}$

ここで、$t = x + \frac{\pi}{4}$ とおくと、

$\sin t > \frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で考えると、$\frac{\pi}{4} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{4}$ となります。

$\sin t = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ は $t = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。

$\sin t > \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の範囲は、$\frac{\pi}{6} < t < \frac{5\pi}{6}$ となります。

$x + \frac{\pi}{4} = t$ より、

$\frac{\pi}{6} < x + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4}$

$\frac{2\pi - 3\pi}{12} < x < \frac{10\pi - 3\pi}{12}$

$-\frac{\pi}{12} < x < \frac{7\pi}{12}$

$x$ の範囲は $0 \le x < 2\pi$ なので、

$0 \le x < \frac{7\pi}{12}$ および $2\pi - \frac{\pi}{12} < x < 2\pi$, すなわち $\frac{23\pi}{12} < x < 2\pi$ となります。

3. 最終的な答え

$0 \le x < 2\pi$ において、

$\frac{-\pi}{12} < x < \frac{7\pi}{12}$ より、$0 \le x < \frac{7\pi}{12}$

したがって、求める $x$ の範囲は $0 \le x < \frac{7\pi}{12}$ です。

最終的な答え: $0 \le x < \frac{7\pi}{12}$