与えられた3つの関数について、陰関数微分を用いて$\frac{dy}{dx}$を$x$と$y$を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、陰関数微分を用いて$\frac{dy}{dx}$を$x$と$y$を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

(1) $xy=3$

両辺を$x$について微分します。積の微分法を用いると

$\frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(3)$

$x \frac{dy}{dx} + y \frac{dx}{dx} = 0$

$x \frac{dy}{dx} + y = 0$

$x \frac{dy}{dx} = -y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

(2) $x^2 + y^2 = 9$

両辺を$x$について微分します。

$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(9)$

$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$2y \frac{dy}{dx} = -2x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

(3) $25x^2 - 4y^2 = 9$

両辺を$x$について微分します。

$\frac{d}{dx}(25x^2) - \frac{d}{dx}(4y^2) = \frac{d}{dx}(9)$

$50x - 8y \frac{dy}{dx} = 0$

$8y \frac{dy}{dx} = 50x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{50x}{8y}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{25x}{4y}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{25x}{4y}$