次の微分方程式を解きます。 $\frac{d^2x}{dt^2} = -2a$ ただし、初期条件は $t=0$ のとき $x=x_0$、$\frac{dx}{dt}=v_0$ です。

1. 問題の内容

次の微分方程式を解きます。

$\frac{d^2x}{dt^2} = -2a$

ただし、初期条件は $t=0$ のとき $x=x_0$、$\frac{dx}{dt}=v_0$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を $t$ で積分します。

$\int \frac{d^2x}{dt^2} dt = \int -2a dt$

$\frac{dx}{dt} = -2at + C_1$

ここで、$C_1$ は積分定数です。初期条件 $\frac{dx}{dt} = v_0$ を $t=0$ で適用すると、

$v_0 = -2a(0) + C_1$

$C_1 = v_0$

したがって、

$\frac{dx}{dt} = -2at + v_0$

次に、再び $t$ で積分します。

$\int \frac{dx}{dt} dt = \int (-2at + v_0) dt$

$x = -at^2 + v_0t + C_2$

ここで、$C_2$ は積分定数です。初期条件 $x=x_0$ を $t=0$ で適用すると、

$x_0 = -a(0)^2 + v_0(0) + C_2$

$C_2 = x_0$

したがって、

$x = -at^2 + v_0t + x_0$

3. 最終的な答え

$x = -at^2 + v_0t + x_0$