関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の $n$ 階微分 $f^{(n)}(0)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の $n$ 階微分 $f^{(n)}(0)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ をマクローリン展開します。まず、$f(x)$ を次のように書き換えます。

$f(x) = (1-x^2)^{-1/2}$

二項定理 $(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^k$ を用いると、

$f(x) = (1-x^2)^{-1/2} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{-1/2}{k} (-x^2)^k$

ここで、$\binom{-1/2}{k}$ を計算します。

$\binom{-1/2}{k} = \frac{(-1/2)(-3/2) \cdots (-1/2 - (k-1))}{k!} = \frac{(-1)^k}{2^k} \frac{1 \cdot 3 \cdots (2k-1)}{k!} = \frac{(-1)^k}{2^k} \frac{(2k)!}{2^k (k!)^2 k!} = (-1)^k \frac{(2k)!}{4^k (k!)^2}$

したがって、

$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{4^k (k!)^2} x^{2k}$

マクローリン展開の係数は $f^{(n)}(0)/n!$ で与えられます。よって、

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{4^k (k!)^2} x^{2k}$ を比較すると、$n$ が奇数のとき $f^{(n)}(0) = 0$ です。

$n = 2k$ が偶数のとき、

$\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!} = \frac{(2k)!}{4^k (k!)^2}$

$f^{(2k)}(0) = \frac{((2k)!)^2}{4^k (k!)^2}$

したがって、$n$ が偶数のとき $n=2k$ とおくと

$f^{(n)}(0) = \frac{(n!)^2}{4^{n/2}((n/2)!)^2}$

3. 最終的な答え

$n$ が奇数のとき、$f^{(n)}(0) = 0$

$n$ が偶数のとき、$f^{(n)}(0) = \frac{(n!)^2}{4^{n/2}((n/2)!)^2}$