関数 $y = \cos^{-1}(\frac{x}{a})$ が与えられたとき、その導関数 $y' = -\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ となることを証明する。ただし、$a > 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos^{-1}(\frac{x}{a})$ が与えられたとき、その導関数 $y' = -\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ となることを証明する。ただし、$a > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$y = \cos^{-1}(\frac{x}{a})$ を変形して、

$\cos y = \frac{x}{a}$

を得る。

次に、両辺を $x$ で微分する。左辺は合成関数の微分を用いる。

$\frac{d}{dx}(\cos y) = \frac{d}{dx}(\frac{x}{a})$

$-\sin y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{a}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{a \sin y}$

ここで、$\sin y$ を $\cos y$ で表すことを考える。

$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ より、

$\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y}$ （$0 \leq y \leq \pi$ より $\sin y \geq 0$ なので正の平方根を取る。）

$\cos y = \frac{x}{a}$ を代入すると、

$\sin y = \sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} = \sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$

これを $\frac{dy}{dx}$ の式に代入すると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{a \cdot \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}} = -\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$