$\tan x$ の微分を求め、与えられた枠内の数字を参考にして答えを完成させてください。問題は $(\tan x)' = \boxed{4 2}$ の形になっています。

1. 問題の内容

$\tan x$ の微分を求め、与えられた枠内の数字を参考にして答えを完成させてください。問題は $(\tan x)' = \boxed{4 2}$ の形になっています。

2. 解き方の手順

$\tan x$ の微分は $\frac{d}{dx} \tan x$ で表されます。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して、商の微分公式を使います。

商の微分公式は $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

$u = \sin x$、$v = \cos x$ とすると、$u' = \cos x$、$v' = -\sin x$ となります。

これを商の微分公式に代入すると、

$(\frac{\sin x}{\cos x})' = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、

$\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

$\sec^2 x$ は $1 + \tan^2 x$ とも表せます。

また、$\frac{1}{\cos^2 x}$ は $1/\cos^2 x$ とも書けます。

与えられた枠内の数字が4と2なので、$\sec^2 x$あるいは$1/\cos^2 x$の係数が何かを探します。

$42$ という数字から、正解は $1/\cos^2 x$ ではなく $\sec^2 x$ か $1 + \tan^2 x$ であることは想像できます。

$\tan x$ の微分は、$\sec^2 x$ です。

3. 最終的な答え

$(\tan x)' = \sec^2 x$