$x > 0$ のとき、不等式 $(2+x)\log(2+x) > x$ が成り立つことを証明するために、$f(x) = (2+x)\log(2+x) - x$ とおいたとき、$f'(x)$を求め、$f(0)$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式 $(2+x)\log(2+x) > x$ が成り立つことを証明するために、$f(x) = (2+x)\log(2+x) - x$ とおいたとき、$f'(x)$を求め、$f(0)$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f(x) = (2+x)\log(2+x) - x$

積の微分法より、

$f'(x) = (1) \cdot \log(2+x) + (2+x) \cdot \frac{1}{2+x} - 1$

$f'(x) = \log(2+x) + 1 - 1$

$f'(x) = \log(2+x)$

$x > 0$ のとき、$2+x > 2$ であるから $\log(2+x) > \log 2 > 0$ となります。

よって、$f'(x) > 0$ であるから、$f(x)$ は $x \ge 0$ で増加します。

したがって、$x > 0$ において、$f(x) > f(0)$ となります。

$f(0) = (2+0)\log(2+0) - 0 = 2\log 2$

$\log 2$ は自然対数なので、$2\log 2 = \log 2^2 = \log 4$

$\log 4 > \log e = 1 > 0$ であるため、$f(0) = 2\log 2 > 0$

したがって、$f(x) > f(0) = 2\log 2 > 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\log(2+x)$

(2) $2\log 2$