関数 $f(x) = \frac{1}{x^3+1}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ の $x = \frac{1}{9}$ における微分係数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^3+1}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ の $x = \frac{1}{9}$ における微分係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆関数の微分公式を用います。

$f^{-1}(x)$ の $x=a$ における微分係数は、

$(f^{-1})'(a) = \frac{1}{f'(f^{-1}(a))}$

で与えられます。

まず、$f^{-1}(\frac{1}{9})$ を求めます。つまり、$f(x) = \frac{1}{9}$ となる $x$ を求めます。

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1}{9}$

$x^3+1 = 9$

$x^3 = 8$

$x = 2$

したがって、$f^{-1}(\frac{1}{9}) = 2$ です。

次に、$f'(x)$ を求めます。

$f(x) = \frac{1}{x^3+1} = (x^3+1)^{-1}$

$f'(x) = -1(x^3+1)^{-2} \cdot 3x^2 = -\frac{3x^2}{(x^3+1)^2}$

$f'(2)$ を計算します。

$f'(2) = -\frac{3(2^2)}{(2^3+1)^2} = -\frac{3 \cdot 4}{(8+1)^2} = -\frac{12}{81} = -\frac{4}{27}$

最後に、逆関数の微分公式を用いて、$f^{-1}(x)$ の $x=\frac{1}{9}$ における微分係数を計算します。

$(f^{-1})'(\frac{1}{9}) = \frac{1}{f'(f^{-1}(\frac{1}{9}))} = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{-\frac{4}{27}} = -\frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{27}{4}$