関数 $f(x) = \frac{1}{x^3 + 1}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ の、$x = \frac{1}{9}$ における微分係数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^3 + 1}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ の、$x = \frac{1}{9}$ における微分係数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f^{-1}(x)$ を直接求めるのではなく、逆関数の微分公式を用いる。

逆関数の微分公式は、

$\qquad (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

である。

1. $f^{-1}(\frac{1}{9})$ の値を求める。すなわち、$f(x) = \frac{1}{9}$ となる $x$ を求める。

$\frac{1}{x^3 + 1} = \frac{1}{9}$ より、

$x^3 + 1 = 9$

$x^3 = 8$

$x = 2$

したがって、$f^{-1}(\frac{1}{9}) = 2$ である。

2. $f'(x)$ を求める。

$f(x) = \frac{1}{x^3 + 1} = (x^3 + 1)^{-1}$

$f'(x) = -(x^3 + 1)^{-2} \cdot 3x^2 = \frac{-3x^2}{(x^3 + 1)^2}$

3. $f'(f^{-1}(\frac{1}{9})) = f'(2)$ を計算する。

$f'(2) = \frac{-3(2^2)}{(2^3 + 1)^2} = \frac{-3(4)}{(8 + 1)^2} = \frac{-12}{81} = -\frac{4}{27}$

4. 逆関数の微分公式に代入する。

$(f^{-1})'(\frac{1}{9}) = \frac{1}{f'(f^{-1}(\frac{1}{9}))} = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{-\frac{4}{27}} = -\frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{27}{4}$