$x>0$のとき、不等式 $(2+x)\log(2+x) > x$ が成り立つことを証明するために、空欄（(1)と(2)）を埋める問題です。$f(x) = (2+x)\log(2+x) - x$ と定義し、$f'(x)$を計算し、$f(x)>f(0)$を示すことで、上記の不等式を示す流れになっています。

1. 問題の内容

$x>0$のとき、不等式 $(2+x)\log(2+x) > x$ が成り立つことを証明するために、空欄（(1)と(2)）を埋める問題です。$f(x) = (2+x)\log(2+x) - x$ と定義し、$f'(x)$を計算し、$f(x)>f(0)$を示すことで、上記の不等式を示す流れになっています。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = (2+x)\log(2+x) - x$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分法を使うと、

$f'(x) = \log(2+x) + (2+x) \cdot \frac{1}{2+x} - 1$

$f'(x) = \log(2+x) + 1 - 1$

$f'(x) = \log(2+x)$

$x > 0$ なので、$2+x > 2$ です。したがって、$\log(2+x) > \log(2) > 0$ となります。

よって、$f'(x) > 0$ となります。

次に、$f(0)$を計算します。

$f(0) = (2+0)\log(2+0) - 0$

$f(0) = 2\log(2)$

したがって、$f(x) > f(0) = 2\log(2)$ となります。

$2\log(2) = \log(2^2) = \log(4) > \log(e) = 1 > 0$ なので、$f(x) > f(0) > 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\log(2+x)$

(2) $2\log(2)$