関数 $f(x)$ について、以下の3つの問題を解く。 (1) $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x^2} f(t) dt$ (2) $\frac{d}{dx} \int_{2x+1}^{x^3} f(t) dt$ (3) $\frac{d^2}{dx^2} \int_{a}^{x} (x-t)f(t) dt$ ただし、$a$ は定数であり、$f(x)$ は(1)(2)では連続、(3)では微分可能とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ について、以下の3つの問題を解く。

(1) $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x^2} f(t) dt$

(2) $\frac{d}{dx} \int_{2x+1}^{x^3} f(t) dt$

(3) $\frac{d^2}{dx^2} \int_{a}^{x} (x-t)f(t) dt$

ただし、$a$ は定数であり、$f(x)$ は(1)(2)では連続、(3)では微分可能とする。

2. 解き方の手順

(1)

$F'(t) = f(t)$ となる $F(t)$ を考える。微積分学の基本定理より、$\int_{a}^{x^2} f(t) dt = F(x^2) - F(a)$ となる。

したがって、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x^2} f(t) dt = \frac{d}{dx} (F(x^2) - F(a)) = F'(x^2) \cdot 2x = f(x^2) \cdot 2x$

(2)

$F'(t) = f(t)$ となる $F(t)$ を考える。微積分学の基本定理より、$\int_{2x+1}^{x^3} f(t) dt = F(x^3) - F(2x+1)$ となる。

したがって、

$\frac{d}{dx} \int_{2x+1}^{x^3} f(t) dt = \frac{d}{dx} (F(x^3) - F(2x+1)) = F'(x^3) \cdot 3x^2 - F'(2x+1) \cdot 2 = f(x^3) \cdot 3x^2 - f(2x+1) \cdot 2$

(3)

まず、積分を分解する。

$\int_{a}^{x} (x-t)f(t) dt = \int_{a}^{x} xf(t) dt - \int_{a}^{x} tf(t) dt = x \int_{a}^{x} f(t) dt - \int_{a}^{x} tf(t) dt$

次に、$x$ で微分する。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} (x-t)f(t) dt = \frac{d}{dx} \left(x \int_{a}^{x} f(t) dt - \int_{a}^{x} tf(t) dt\right) = \int_{a}^{x} f(t) dt + xf(x) - xf(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$

さらにもう一度、$x$ で微分する。

$\frac{d^2}{dx^2} \int_{a}^{x} (x-t)f(t) dt = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$

3. 最終的な答え

(1) $2x f(x^2)$

(2) $3x^2 f(x^3) - 2 f(2x+1)$

(3) $f(x)$