与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!} x^{2n+1}$ を簡略化し、関数 $y = e^{2x}$ のマクローリン展開を求め、その一般項を記述する。

1. 問題の内容

与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!} x^{2n+1}$ を簡略化し、関数 $y = e^{2x}$ のマクローリン展開を求め、その一般項を記述する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた級数を簡略化します。$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!} x^{2n+1}$ は、$\sin x$ のマクローリン展開 $\sin x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!} x^{2n-1}$ に似ています。

与えられた級数を $x^2$ でくくり出すと、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!} x^{2n+1} = x^2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!} x^{2n-1} = x^2 \sin x$

次に、$y = e^{2x}$ のマクローリン展開を求めます。マクローリン展開は、関数を $x=0$ における導関数の無限級数として表すものです。一般的に、関数 $f(x)$ のマクローリン展開は、次のようになります。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

ここで、$f(x) = e^{2x}$ であるため、その $n$ 階導関数は $f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}$ となります。したがって、$x=0$ での $n$ 階導関数は $f^{(n)}(0) = 2^n e^0 = 2^n$ となります。

したがって、$e^{2x}$ のマクローリン展開は、

$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} x^n$

3. 最終的な答え

最初の級数の簡略化：$x^2 \sin x$

関数 $e^{2x}$ のマクローリン展開：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} x^n$