関数 $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ のマクローリン級数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ のマクローリン級数を求めよ。

2. 解き方の手順

マクローリン級数は、関数を $x=0$ の周りでべき級数として展開したものです。

この問題を解くためには、等比級数の公式を利用します。

まず、$\frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$ (ただし、$|r| < 1$) という等比級数の公式を思い出します。

与えられた関数 $y = \frac{1}{x^2+1}$ をこの形に変形します。$x^2+1 = 1 - (-x^2)$ と考えれば、 $r = -x^2$ とすればよいことがわかります。したがって、

$\frac{1}{x^2+1} = \frac{1}{1 - (-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

この級数が収束するのは $|-x^2| < 1$ のとき、つまり $|x^2| < 1$ より $|x| < 1$ のときです。

したがって、$\frac{1}{x^2+1}$のマクローリン級数は

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...$

3. 最終的な答え

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$