与えられた積分 $\int x\sqrt{x} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x\sqrt{x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x}$ を $x$ の指数で表します。$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int x \sqrt{x} \, dx = \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} \, dx$

次に、$x$ と $x^{\frac{1}{2}}$ を掛け合わせます。指数の法則により、$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ であるため、$x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int x^{\frac{3}{2}} \, dx$

べき乗の積分規則 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を使用します。ここで、$n = \frac{3}{2}$ なので、$n+1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int x^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C$

$\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}$ を簡略化すると、$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

最後に、$x^{\frac{5}{2}}$ を $x^2\sqrt{x}$ と書き直します。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C$