$y = \arctan x$ のマクローリン級数を求めます。

1. 問題の内容

$y = \arctan x$ のマクローリン級数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\arctan x$ の微分を求めます。

$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$

次に、$\frac{1}{1+x^2}$ を等比級数で表します。

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

この級数は $|x^2| < 1$、つまり $|x| < 1$ で収束します。

次に、$\frac{1}{1+x^2}$ の級数を項別に積分して $\arctan x$ を求めます。

$\arctan x = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int x^{2n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C$

$x=0$ のとき、$\arctan 0 = 0$ であり、$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{0^{2n+1}}{2n+1} + C = C$ なので、$C=0$ となります。

したがって、$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots$