放物線 $C: y = x^2 - 2x + 2$ に点 $P(t, 0)$ から異なる2本の接線を引く。その接点A, Bの $x$ 座標をそれぞれ $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$)とする。 (1) $\alpha$ と $t$ の関係式を求めよ。 (2) 放物線 $C$, 直線PA, PBによって囲まれる図形の面積を $S$ とする。$S$の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 2x + 2$ に点 $P(t, 0)$ から異なる2本の接線を引く。その接点A, Bの $x$ 座標をそれぞれ $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$)とする。

(1) $\alpha$ と $t$ の関係式を求めよ。

(2) 放物線 $C$, 直線PA, PBによって囲まれる図形の面積を $S$ とする。$S$の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $C: y = x^2 - 2x + 2$ 上の点 $(x, x^2 - 2x + 2)$ における接線の方程式は、

$y' = 2x - 2$ より、

$y - (x^2 - 2x + 2) = (2x - 2)(x - x)$

$y = (2x - 2)x - x^2 + 2x + 2 = (2x - 2)x - x^2 + 2x + 2$

$y = (2x - 2)x - x^2 + 2x + 2 = x^2 - 2x + 2$

接点の座標を $(s, s^2 - 2s + 2)$ とすると、接線の方程式は

$y - (s^2 - 2s + 2) = (2s - 2)(x - s)$

$y = (2s - 2)x - 2s^2 + 2s + s^2 - 2s + 2 = (2s - 2)x - s^2 + 2$

この接線が点 $P(t, 0)$ を通るので、

$0 = (2s - 2)t - s^2 + 2$

$s^2 - 2(t - 1)s + 2 - 2t = 0$

この2次方程式の解が $\alpha$ と $\beta$ であるから、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2(t-1)$

$\alpha \beta = 2 - 2t$

また、この二次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D > 0$ でなければならない。

$D/4 = (t-1)^2 - (2-2t) = t^2 - 2t + 1 - 2 + 2t = t^2 - 1 > 0$

したがって、$t < -1$ または $t > 1$

$\alpha$ と $\beta$ は $s$ の二次方程式 $s^2 - 2(t-1)s + 2 - 2t = 0$ の解であるから、$\alpha, \beta = t - 1 \pm \sqrt{(t-1)^2 - (2 - 2t)} = t - 1 \pm \sqrt{t^2 - 1}$

問題より $\alpha < \beta$ であるから $\alpha = t - 1 - \sqrt{t^2 - 1}$, $\beta = t - 1 + \sqrt{t^2 - 1}$

$\alpha$ と $t$ の関係式は、$s^2 - 2(t-1)s + 2 - 2t = 0$ を満たす $s$ が $\alpha$ であるから、$\alpha^2 - 2(t-1)\alpha + 2 - 2t = 0$。

$t = \frac{\alpha^2 + 2\alpha + 2}{2\alpha + 2}$

(2)

放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ と接線 $y = (2\alpha - 2)x - \alpha^2 + 2$ で囲まれる面積は

$\int_{\alpha}^{x} ((2\alpha - 2)x - \alpha^2 + 2 - (x^2 - 2x + 2))dx = \frac{1}{6}(x - \alpha)^3$

$PA$ と $PB$ の囲む面積は

$\int_{\alpha}^{\beta} ((x^2-2x+2) - ((2\alpha-2)x - \alpha^2+2))dx + \int_{\beta}^{\beta} ((x^2-2x+2) - ((2\beta-2)x - \beta^2+2))dx$

$S = \frac{|\beta - \alpha|^3}{6}$

$\beta - \alpha = (t - 1 + \sqrt{t^2 - 1}) - (t - 1 - \sqrt{t^2 - 1}) = 2\sqrt{t^2 - 1}$

$S = \frac{(2\sqrt{t^2 - 1})^3}{6} = \frac{8(t^2 - 1)^{3/2}}{6} = \frac{4}{3}(t^2 - 1)^{3/2}$

$S$ が最小となるのは $t^2 - 1$ が最小となるとき。

$t > 1$ のとき、$t$ が1に近づくほど$t^2 - 1$は小さくなるが、$t>1$なので、最小値は存在しない。

$t < -1$ のとき、$t$ が-1に近づくほど$t^2 - 1$は小さくなるが、$t<-1$なので、最小値は存在しない。

しかし、 $t$が-1または1に近いとき、$S$は0に近づく。$S$の最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 - 2(t-1)\alpha + 2 - 2t = 0$

(2) $S = \frac{4}{3}(t^2 - 1)^{3/2}$ 、最小値は存在しない