全体集合Uの要素の個数が100個、部分集合Aの要素の個数が83個、部分集合Bの要素の個数が71個である。このとき、以下の値を求める問題。 * AとBの両方に属する要素の個数の最小値と最大値 * Aに属するがBに属さない要素の個数の最小値 * Aに属するがBに属さない要素の個数がある値のときの、Bに属するがAに属さない要素の個数。ただし、Aに属さない要素の個数は7個。

1. 問題の内容

全体集合Uの要素の個数が100個、部分集合Aの要素の個数が83個、部分集合Bの要素の個数が71個である。このとき、以下の値を求める問題。

* AとBの両方に属する要素の個数の最小値と最大値

* Aに属するがBに属さない要素の個数の最小値

* Aに属するがBに属さない要素の個数がある値のときの、Bに属するがAに属さない要素の個数。ただし、Aに属さない要素の個数は7個。

2. 解き方の手順

(1) AとBの両方に属する要素の個数($A \cap B$)について：

* 最小値：$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$より、$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$。$n(A \cup B)$は最大で全体集合Uの要素の個数である100なので、$n(A \cap B)$の最小値は$83 + 71 - 100 = 54$。

* 最大値：$A \cap B$はAとBの部分集合なので、$n(A \cap B)$は$n(A)=83$と$n(B)=71$より小さい方、つまり71を超えない。したがって、最大値は71。

(2) Aに属するがBに属さない要素の個数($A \cap \overline{B}$)について：

* 最小値：$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$。$n(A \cap B)$の最大値は71なので、$n(A \cap \overline{B})$の最小値は$83 - 71 = 12$。

(3) Aに属するがBに属さない要素の個数がある値のときの、Bに属するがAに属さない要素の個数($\overline{A} \cap B$)について：

* Aに属さない要素の個数が7個であるとき、$n(\overline{A}) = 7$。したがって、$n(A) = 100 - 7 = 93$となる。しかし、$n(A) = 83$という条件があるので、これは矛盾する。

問題文を再度確認すると、「また、Aに属するがBに属さない要素の個数が個のときは、Bに属するがAに属さない要素の個数は7個」である。

$n(A \cap \overline{B})=7$のとき、$n(\overline{A} \cap B)$を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$で、$n(A \cap B) = n(A) - n(A \cap \overline{B}) = 83 - 7 = 76$。

$n(A \cup B) = 83 + 71 - 76 = 78$。

$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B) = 71 - (83-7) = 71 - 76 = -5$。 これはありえない。

Aに属さない要素の個数が7個、つまり$n(\overline{A})=7$のとき、$U=A\cup \overline{A}$だから、$n(U) = n(A)+n(\overline{A})$より、$100 = 83+n(\overline{A})$から$n(\overline{A})=17$である。問題文の「Aに属さない要素の個数は7個」は誤りである。したがって、Aに属するがBに属さない要素の個数が７個という条件の下で計算する。

$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

$n(A \cap B)=n(A)-n(A \cap \overline{B})=83-7=76$

$n(\overline{A} \cap B) = n(B)-n(A\cap B)=71-76=-5$ これは矛盾。

$U = A\cup B \cup \overline{A\cup B}$なので、$n(U) = n(A \cup B) + n(\overline{A\cup B})$である。$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 83 + 71 - n(A \cap B) = 154 - n(A \cap B)$である。$n(A \cap B) = n(A) - n(A \cap \overline{B}) = 83-7 = 76$より、$n(A \cup B)=154-76=78$となる。よって、$n(\overline{A\cup B})=100-78=22$となる。

$n(\overline{A} \cap B) = n(B)-n(A \cap B) = 71-76=-5$となり矛盾する。

問題の理解が間違っているかもしれない。

$n(A\setminus B)=7$のとき、$n(B\setminus A)$を求める。

$n(A)=83$、$n(B)=71$、$n(U)=100$、$n(A\setminus B)=7$

$n(A)=n(A\setminus B)+n(A\cap B)$より、$n(A\cap B)=83-7=76$

$n(B)=n(B\setminus A)+n(A\cap B)$より、$71=n(B\setminus A)+76$。よって、$n(B\setminus A)=71-76=-5$。これはありえない。

Aに属さない要素の個数が7個のとき、$B\setminus A$に属する要素の個数を求める。

誤植があるかもしれない。ここでは、$n(B\setminus A)=7$と仮定して、$n(A\setminus B)$を求める。

$n(B)=n(B\setminus A)+n(A\cap B)$より、$n(A\cap B)=n(B)-n(B\setminus A)=71-7=64$

$n(A\setminus B)=n(A)-n(A\cap B)=83-64=19$

3. 最終的な答え

ア：54

イ：71

ウ：12

エ：誤植のため解答不能