与えられた数式 $\sum_{k=1}^n k \cdot 2^{k-1} = (n-1) \cdot 2^n + 1$ が数学的帰納法で証明される過程において、空欄(a), (b), (c)を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\sum_{k=1}^n k \cdot 2^{k-1} = (n-1) \cdot 2^n + 1$ が数学的帰納法で証明される過程において、空欄(a), (b), (c)を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n=k+1$の場合を考えます。$n=k$の場合の成立を仮定して、以下の式を得ます。

$\sum_{i=1}^{k+1} i \cdot 2^{i-1} = \sum_{i=1}^k i \cdot 2^{i-1} + (k+1) \cdot 2^k$

$n=k$のときの仮定$\sum_{k=1}^n k \cdot 2^{k-1} = (n-1) \cdot 2^n + 1$より

$\sum_{i=1}^k i \cdot 2^{i-1} = (k-1) \cdot 2^k + 1$

$\sum_{i=1}^{k+1} i \cdot 2^{i-1} = (k-1) \cdot 2^k + 1 + (k+1) \cdot 2^k$

$= (k-1+k+1) \cdot 2^k + 1$

$= 2k \cdot 2^k + 1$

$= k \cdot 2^{k+1} + 1$

一方、$n=k+1$の場合の目標の式は、

$((k+1)-1) \cdot 2^{k+1} + 1 = k \cdot 2^{k+1} + 1$ となります。

空欄を埋めていきます。

(a)について：

$(a) \cdot 2^{k+1} + 1 = k \cdot 2^{k+1} + 1$

したがって、(a) = k

(b)について：

$k \cdot 2^{(b)} + 1 = k \cdot 2^{k+1} + 1$

したがって、(b) = k+1

(c)について：

$\{(c) - 1\} \cdot 2^{k+1} + 1 = k \cdot 2^{k+1} + 1$

$(c) - 1 = k$

したがって、(c) = k+1

3. 最終的な答え

(a) = k

(b) = k+1

(c) = k+1