数学的帰納法による証明の穴埋め問題です。 $\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1} = (n-1) \cdot 2^n + 1$ という等式を証明する過程の一部が省略されているので、それを埋めます。具体的には、 $1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + \dots + k \cdot 2^{k-1} + (k+1) \cdot 2^k = \{ (k-1) \cdot 2^k + 1 \} + (k+1) \cdot 2^k = (a) \cdot 2^k + 1 = k \cdot 2^{(b)} + 1 = \{ (c) - 1 \} \cdot 2^{k+1} + 1$ という式変形における(a), (b), (c)に入るものを選択肢から選びます。

1. 問題の内容

数学的帰納法による証明の穴埋め問題です。

$\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1} = (n-1) \cdot 2^n + 1$

という等式を証明する過程の一部が省略されているので、それを埋めます。具体的には、

$1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + \dots + k \cdot 2^{k-1} + (k+1) \cdot 2^k = \{ (k-1) \cdot 2^k + 1 \} + (k+1) \cdot 2^k = (a) \cdot 2^k + 1 = k \cdot 2^{(b)} + 1 = \{ (c) - 1 \} \cdot 2^{k+1} + 1$

という式変形における(a), (b), (c)に入るものを選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

まず、$\{ (k-1) \cdot 2^k + 1 \} + (k+1) \cdot 2^k$を計算して(a)を求めます。

$(k-1) \cdot 2^k + (k+1) \cdot 2^k + 1 = (k - 1 + k + 1) \cdot 2^k + 1 = 2k \cdot 2^k + 1$

よって、(a)は$2k$です。

次に、$2k \cdot 2^k = k \cdot 2^{(b)}$から(b)を求めます。

$2k \cdot 2^k = k \cdot 2 \cdot 2^k = k \cdot 2^{k+1}$

よって、(b)は$k+1$です。

最後に、$k \cdot 2^{k+1} + 1 = \{ (c) - 1 \} \cdot 2^{k+1} + 1$から(c)を求めます。

$k \cdot 2^{k+1} = \{ (c) - 1 \} \cdot 2^{k+1}$なので、$k = c - 1$となり、$c = k+1$です。

3. 最終的な答え

(a) $2k$

(b) $k+1$

(c) $k+1$

よって、答えは3です。