数学的帰納法を用いて等式 $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ を証明する過程における空欄(A)を埋める問題です。$n=k$ のとき等式が成立すると仮定し、$n=k+1$ のときの等式が成立することを証明します。左辺の式を整理し、右辺が $(k+1)^2$ となることを示します。

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて等式 $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ を証明する過程における空欄(A)を埋める問題です。$n=k$ のとき等式が成立すると仮定し、$n=k+1$ のときの等式が成立することを証明します。左辺の式を整理し、右辺が $(k+1)^2$ となることを示します。

2. 解き方の手順

まず、$n=k$ のとき、等式 $1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2$ が成立すると仮定します。

次に、$n=k+1$ のとき、等式 $1+3+5+\cdots+(2(k+1)-1)=(k+1)^2$ が成立することを示します。

$n=k+1$ のときの左辺は、$1+3+5+\cdots+(2k-1)+(2(k+1)-1)$ と表せます。

帰納法の仮定より、$1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2$ なので、$n=k+1$ のときの左辺は、$k^2+(2(k+1)-1) = k^2+(2k+2-1) = k^2+2k+1$ となります。

$k^2+2k+1$ を因数分解すると、$(k+1)^2$ となります。

したがって、$n=k+1$ のときの左辺は $(k+1)^2$ となり、$n=k+1$ のときの右辺 $(k+1)^2$ と一致します。

よって、空欄(A)に当てはまるのは $(k+1)^2$ です。

3. 最終的な答え

$(k+1)^2$