連立不等式 $3x - 2y + 4 \geq 0$, $4x - y - 8 \leq 0$, $11x + y + 23 \geq 0$ を満たすとき、$2x + y$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

連立不等式

$3x - 2y + 4 \geq 0$,

$4x - y - 8 \leq 0$,

$11x + y + 23 \geq 0$

を満たすとき、$2x + y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理する。

$3x - 2y + 4 \geq 0 \implies y \leq \frac{3}{2}x + 2$

$4x - y - 8 \leq 0 \implies y \geq 4x - 8$

$11x + y + 23 \geq 0 \implies y \geq -11x - 23$

次に、これらの不等式を満たす領域を図示する。ここではグラフ描画ツールは使用できないため、頂点の座標を計算して、$2x+y$ の値を評価する。

まず、連立方程式

$y = \frac{3}{2}x + 2$

$y = 4x - 8$

を解く。

$\frac{3}{2}x + 2 = 4x - 8$

$3x + 4 = 8x - 16$

$5x = 20$

$x = 4$

$y = 4(4) - 8 = 16 - 8 = 8$

交点(4, 8)

次に、

$y = \frac{3}{2}x + 2$

$y = -11x - 23$

を解く。

$\frac{3}{2}x + 2 = -11x - 23$

$3x + 4 = -22x - 46$

$25x = -50$

$x = -2$

$y = -11(-2) - 23 = 22 - 23 = -1$

交点(-2, -1)

最後に、

$y = 4x - 8$

$y = -11x - 23$

を解く。

$4x - 8 = -11x - 23$

$15x = -15$

$x = -1$

$y = 4(-1) - 8 = -4 - 8 = -12$

交点(-1, -12)

したがって、3つの頂点は (4, 8), (-2, -1), (-1, -12) である。

$2x + y$ の値を各頂点で計算する。

(4, 8) : $2(4) + 8 = 8 + 8 = 16$

(-2, -1) : $2(-2) + (-1) = -4 - 1 = -5$

(-1, -12) : $2(-1) + (-12) = -2 - 12 = -14$

したがって、最大値は16、最小値は-14である。

3. 最終的な答え

最大値: 16

最小値: -14