与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を定める問題です。ここでは、問題の(2)と(3)を解きます。 (2) $2x^2 + 1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ (3) $ax^2 + bx + 3 = (x-1)(x+1) + c(x+2)^2$

## 解答

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を定める問題です。ここでは、問題の(2)と(3)を解きます。

(2) $2x^2 + 1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$

(3) $ax^2 + bx + 3 = (x-1)(x+1) + c(x+2)^2$

2. 解き方の手順

**(2) $2x^2 + 1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$**

まず、右辺を展開します。

$a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c$

$ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$

次に、左辺と右辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $2 = a$

$x$ の係数: $0 = 2a + b$

定数項: $1 = a + b + c$

$a = 2$ であるから、$0 = 2(2) + b$ より $b = -4$。

$1 = 2 + (-4) + c$ より $c = 3$。

**(3) $ax^2 + bx + 3 = (x-1)(x+1) + c(x+2)^2$**

まず、右辺を展開します。

$(x-1)(x+1) + c(x+2)^2 = (x^2 - 1) + c(x^2 + 4x + 4) = x^2 - 1 + cx^2 + 4cx + 4c$

$(1+c)x^2 + 4cx + (4c-1)$

次に、左辺と右辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $a = 1 + c$

$x$ の係数: $b = 4c$

定数項: $3 = 4c - 1$

$3 = 4c - 1$ より $4c = 4$ なので、$c = 1$。

$a = 1 + c = 1 + 1 = 2$

$b = 4c = 4(1) = 4$

3. 最終的な答え

(2) $a = 2$, $b = -4$, $c = 3$

(3) $a = 2$, $b = 4$, $c = 1$