与えられた式 $x^2 - y^2 + x + 5y - 6$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - y^2 + x + 5y - 6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$ と $-y^2$ の項をまとめ、平方の差の形にします。

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

次に、残りの項 $x + 5y - 6$ を考慮し、全体をうまく因数分解できるように試みます。

$x^2 - y^2 + x + 5y - 6 = (x+y)(x-y) + x + 5y - 6$

ここで、$x+y = A$, $x-y = B$ と置いてもうまくいきません。

$x+5y-6$ の $y$ の係数 $5$ に注目して、$x^2-y^2$ の部分を操作することを考えます。

$x+y$ の係数が $1$ で、$x-y$ の係数が $5$ になるような定数を考えると、

$x+y+c$ と $x-y+d$ の積に分解できるか試してみます。

$(x+y+a)(x-y+b)= x^2 -y^2 +bx+ay + (a+b)x +(b-a)y + ab$

$x^2-y^2 + (a+b)x +(b-a)y + ab$

この形が与えられた式 $x^2 - y^2 + x + 5y - 6$ と一致するように、$a+b=1$ および $b-a=5$ と $ab=-6$ を解きます。

$a+b = 1$

$b-a = 5$

上記の二つの式を足し合わせると、$2b=6$ よって、$b=3$

$a+b=1$ より $a+3=1$, よって $a=-2$

$ab = (-2)(3) = -6$ となり、一致しています。

したがって、$x^2 - y^2 + x + 5y - 6 = (x+y-2)(x-y+3)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x+y-2)(x-y+3)$