数列 $\{a_n\}$ において、$a_1 = -1$ であり、漸化式 $4a_{n+1} = 8a_n - 1$ を満たすとき、$\sum_{k=1}^n a_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ において、$a_1 = -1$ であり、漸化式 $4a_{n+1} = 8a_n - 1$ を満たすとき、$\sum_{k=1}^n a_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $4a_{n+1} = 8a_n - 1$ を変形して、$a_{n+1}$ を $a_n$ の式で表します。

$a_{n+1} = 2a_n - \frac{1}{4}$

次に、この漸化式を解きます。$a_{n+1} - \alpha = 2(a_n - \alpha)$ となるように $\alpha$ を求めると、

$\alpha = 2\alpha - \frac{1}{4}$

$\alpha = \frac{1}{4}$

したがって、$a_{n+1} - \frac{1}{4} = 2(a_n - \frac{1}{4})$ と変形できます。

数列 $\{a_n - \frac{1}{4}\}$ は、初項 $a_1 - \frac{1}{4} = -1 - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$、公比 2 の等比数列です。

よって、$a_n - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4} \cdot 2^{n-1}$ となり、$a_n = \frac{1}{4} - \frac{5}{4} \cdot 2^{n-1}$ と表せます。

次に、$\sum_{k=1}^n a_k$ を計算します。

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{4} - \frac{5}{4} \cdot 2^{k-1} \right) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{4} - \sum_{k=1}^n \frac{5}{4} \cdot 2^{k-1}$

$= \frac{n}{4} - \frac{5}{4} \sum_{k=1}^n 2^{k-1} = \frac{n}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{1(2^n-1)}{2-1} = \frac{n}{4} - \frac{5}{4} (2^n - 1)$

$= \frac{n}{4} - \frac{5 \cdot 2^n}{4} + \frac{5}{4} = \frac{n - 5 \cdot 2^n + 5}{4}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^n a_k = \frac{n - 5 \cdot 2^n + 5}{4}$