数列 $a_n$ は、$a_1 = -1$ かつ漸化式 $4a_{n+1} = 8a_n - 1$ を満たす。このとき、$\sum_{k=1}^{n} a_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ は、$a_1 = -1$ かつ漸化式 $4a_{n+1} = 8a_n - 1$ を満たす。このとき、$\sum_{k=1}^{n} a_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形します。

$4a_{n+1} = 8a_n - 1$

$a_{n+1} = 2a_n - \frac{1}{4}$

$a_{n+1} - \alpha = 2(a_n - \alpha)$ となるように $\alpha$ を定めます。

$a_{n+1} = 2a_n - \alpha$

したがって $\alpha = \frac{1}{4}$ となります。

$a_{n+1} - \frac{1}{4} = 2(a_n - \frac{1}{4})$

$b_n = a_n - \frac{1}{4}$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となります。

これは、数列 $\{b_n\}$ が公比2の等比数列であることを示します。

$b_1 = a_1 - \frac{1}{4} = -1 - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$

したがって、$b_n = -\frac{5}{4} \cdot 2^{n-1} = -\frac{5}{2^2} \cdot 2^{n-1} = -\frac{5}{2^{3-n}} = -5\cdot 2^{n-3}$

$a_n = b_n + \frac{1}{4} = -5\cdot 2^{n-3} + \frac{1}{4}$

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (-5\cdot 2^{k-3} + \frac{1}{4})$

$\sum_{k=1}^{n} -5\cdot 2^{k-3} = -5 \sum_{k=1}^{n} 2^{k-3} = -5 \sum_{k=1}^{n} \frac{2^{k}}{2^3} = -\frac{5}{8} \sum_{k=1}^{n} 2^{k}$

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k} = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$

$-\frac{5}{8} \sum_{k=1}^{n} 2^{k} = -\frac{5}{8}(2^{n+1} - 2) = -\frac{5}{8} \cdot 2^{n+1} + \frac{5}{4} = -\frac{5}{2^3} \cdot 2^{n+1} + \frac{5}{4} = -5\cdot 2^{n-2} + \frac{5}{4}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4} = \frac{n}{4}$

$\sum_{k=1}^{n} a_k = -5\cdot 2^{n-2} + \frac{5}{4} + \frac{n}{4} = -5\cdot 2^{n-2} + \frac{n+5}{4}$

3. 最終的な答え

$-5 \cdot 2^{n-2} + \frac{n+5}{4}$