2次関数 $y = -x^2 + 4x + 2$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4x + 2$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 2$

$y = -(x^2 - 4x) + 2$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2$

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 4 + 2$

$y = -(x - 2)^2 + 6$

この式から、頂点の座標は $(2, 6)$ であることが分かります。

また、 $x^2$ の係数が負であるため、この2次関数は上に凸なグラフを持ち、最大値は存在しますが、最小値は存在しません。

定義域が与えられていないため、xは全ての実数をとります。上に凸なグラフなので、xがどんな値を取ってもyはいくらでも小さくなることができます。つまり、最小値は存在しません。

最大値は、頂点のy座標の値です。

3. 最終的な答え

最大値：6

最小値：なし