三角形ABCにおいて、$AB=4$, $A=75^\circ$, $B=60^\circ$のとき、辺ACの長さと外接円の半径Rを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $A=75^\circ$, $B=60^\circ$のとき、辺ACの長さと外接円の半径Rを求める。

2. 解き方の手順

まず、角Cの大きさを求める。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

次に、正弦定理を使って外接円の半径Rを求める。

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

$AB=4$、$C=45^\circ$であるから、

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = 2R$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$

$\frac{8}{\sqrt{2}} = 2R$

$R = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

したがって、$R=2\sqrt{2}$である。

次に、辺ACの長さを求める。正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin B} = 2R$

$B=60^\circ$、$R=2\sqrt{2}$であるから、

$\frac{AC}{\sin 60^\circ} = 2(2\sqrt{2})$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{2}$

$AC = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{6}$

したがって、$AC=2\sqrt{6}$である。

3. 最終的な答え

$AC=2\sqrt{6}$

$R=2\sqrt{2}$