問題は2つあります。 最初の問題は、三角関数の符号が与えられたときに、角度 $\theta$ の動径がどの象限にあるかを答える問題です。具体的には、 (1) $\sin \theta < 0$ かつ $\cos \theta < 0$ (2) $\sin \theta > 0$ かつ $\tan \theta < 0$ という条件に対する $\theta$ の動径の象限を求めます。 2つ目の問題は、加法定理を用いて、次の値を求める問題です。 (1) $\cos 15^\circ$ (2) $\sin 75^\circ$ (3) $\tan 105^\circ$

1. 問題の内容

問題は2つあります。

最初の問題は、三角関数の符号が与えられたときに、角度 $\theta$ の動径がどの象限にあるかを答える問題です。具体的には、

(1) $\sin \theta < 0$ かつ $\cos \theta < 0$

(2) $\sin \theta > 0$ かつ $\tan \theta < 0$

という条件に対する $\theta$ の動径の象限を求めます。

2つ目の問題は、加法定理を用いて、次の値を求める問題です。

(1) $\cos 15^\circ$

(2) $\sin 75^\circ$

(3) $\tan 105^\circ$

2. 解き方の手順

最初の問題：

(1) $\sin \theta < 0$ かつ $\cos \theta < 0$

$\sin \theta$ は $y$ 座標、$\cos \theta$ は $x$ 座標に対応します。$x$ 座標と $y$ 座標がともに負であるのは、第3象限です。

(2) $\sin \theta > 0$ かつ $\tan \theta < 0$

$\sin \theta > 0$ なので、$y$ 座標は正です。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} < 0$ であり、$\sin \theta > 0$ なので、$\cos \theta < 0$ である必要があります。$x$ 座標が負で、$y$ 座標が正であるのは、第2象限です。

2つ目の問題：

加法定理を利用します。

(1) $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $\tan 105^\circ = \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ}$

$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, $\tan 45^\circ = 1$ なので、

$\tan 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

最初の問題：

(1) 第3象限

(2) 第2象限

2つ目の問題：

(1) $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3}$