空集合でない2つの集合A, Bについて、$n(A) + n(B) = 12$である。 (1) $n(A \cup B) = 10$のとき、$n(A \cap B)$と$n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B})$を求めよ。 (2) $n(A) \geq n(B)$として、$n(A \cup B)$のとりうる値を求めよ。

1. 問題の内容

空集合でない2つの集合A, Bについて、$n(A) + n(B) = 12$である。

(1) $n(A \cup B) = 10$のとき、$n(A \cap B)$と$n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B})$を求めよ。

(2) $n(A) \geq n(B)$として、$n(A \cup B)$のとりうる値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

集合の要素に関する公式より、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

問題文より、$n(A) + n(B) = 12$、$n(A \cup B) = 10$であるから、

$10 = 12 - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 12 - 10$

$n(A \cap B) = 2$

$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

よって、

$n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B}) = n(B) - n(A \cap B) + n(A) - n(A \cap B)$

$= n(A) + n(B) - 2n(A \cap B)$

$= 12 - 2 \times 2$

$= 12 - 4$

$= 8$

(2)

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 12 - n(A \cap B)$

空集合でない２つの集合なので、$n(A)>0$、$n(B)>0$を満たす必要がある。

また、$n(A) \geq n(B)$を満たす必要がある。

$n(A \cap B) \geq 0$ より、$n(A \cup B) \leq 12$

$n(A \cup B)$が最小となる場合を考える。

$n(A \cap B)$が最大となるとき、$n(A \cup B)$は最小となる。

$n(A) \geq n(B)$より、$n(A)=11, n(B)=1$の場合、$n(A \cap B)=1$、$n(A \cup B) = 11+1-1=11$

$n(A)=10, n(B)=2$の場合、$n(A \cap B)=2$、$n(A \cup B) = 10+2-2=10$

$n(A)=9, n(B)=3$の場合、$n(A \cap B)=3$、$n(A \cup B) = 9+3-3=9$

$n(A)=8, n(B)=4$の場合、$n(A \cap B)=4$、$n(A \cup B) = 8+4-4=8$

$n(A)=7, n(B)=5$の場合、$n(A \cap B)=5$、$n(A \cup B) = 7+5-5=7$

$n(A)=6, n(B)=6$の場合、$n(A \cap B)=6$、$n(A \cup B) = 6+6-6=6$

$n(A \cap B)$が最小となるのは、$n(A \cap B)=0$の場合である。

このとき、$n(A \cup B) = 12$となる。

しかし、$A$と$B$は空集合でないので、$n(A \cup B) < 12$。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \geq n(A) = 6$ and $n(A \cup B) \geq n(B) = 6$

$n(A)>0, n(B)>0$より、$n(A \cup B) >0$となる。

$n(A)+n(B)=12$, $n(A) \geq n(B)$, $A$と$B$は空集合でない

$n(A)$は6以上11以下の整数値をとる

$n(B)$は1以上6以下の整数値をとる

$n(A \cup B)$の最大値は$n(A \cap B)=0$となる場合で、$n(A \cup B) = 12 - 0 = 12$だが、$A \cap B = \emptyset$はありえないので、$n(A \cap B) \geq 1$

$n(A \cup B) = 12 - n(A \cap B)$, $n(A \cap B) \leq n(B)$, $n(A) \geq n(B)$

$n(A \cup B) = 12 - n(A \cap B)$

$n(A \cap B)$の最小値は、$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$

$n(A)=11, n(B)=1$, $n(A \cap B)=1$, $n(A \cup B)=11$

$n(A)=10, n(B)=2$, $n(A \cap B)=2$, $n(A \cup B)=10$

$n(A)=9, n(B)=3$, $n(A \cap B)=3$, $n(A \cup B)=9$

$n(A)=8, n(B)=4$, $n(A \cap B)=4$, $n(A \cup B)=8$

$n(A)=7, n(B)=5$, $n(A \cap B)=5$, $n(A \cup B)=7$

$n(A)=6, n(B)=6$, $n(A \cap B)=6$, $n(A \cup B)=6$

最小値は$A \cap B$が最大の場合に実現される。

$n(A)=11, n(B)=1 \rightarrow n(A \cap B)=1, n(A \cup B) = 11$

$n(A)=6, n(B)=6 \rightarrow n(A \cap B)=6, n(A \cup B)=6$

とりうる値は6以上11以下の整数値である。

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B) = 2$, $n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B}) = 8$

(2) $6 \leq n(A \cup B) \leq 11$

$n(A\cup B)$ のとりうる値は、6, 7, 8, 9, 10, 11