問題文は、例6において、以下の2つの等式が成り立つことを確認するように求めています。 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

問題文は、例6において、以下の2つの等式が成り立つことを確認するように求めています。

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

これらの等式はド・モルガンの法則として知られています。これらを証明するには、集合の要素がそれぞれの集合に属するかどうかを考える方法があります。

(1) $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ の証明

左辺 $\overline{A \cup B}$ は、$A \cup B$ に属さないすべての要素の集合です。つまり、$A$ にも $B$ にも属さないすべての要素の集合です。

右辺 $\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$A$ に属さない要素（つまり $\overline{A}$ の要素）と、$B$ に属さない要素（つまり $\overline{B}$ の要素）の両方に属するすべての要素の集合です。つまり、$A$ にも $B$ にも属さないすべての要素の集合です。

したがって、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ が成り立ちます。

(2) $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ の証明

左辺 $\overline{A \cap B}$ は、$A \cap B$ に属さないすべての要素の集合です。つまり、$A$ と $B$ の両方に属するわけではないすべての要素の集合です。これは、$A$ に属さないか、$B$ に属さない要素の集合です。

右辺 $\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$A$ に属さない要素（つまり $\overline{A}$ の要素）または、$B$ に属さない要素（つまり $\overline{B}$ の要素）に属するすべての要素の集合です。つまり、$A$ に属さないか、$B$ に属さない要素の集合です。

したがって、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ および $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立ちます。