問題は、以下の2つのド・モルガンの法則を、図を用いて確認することです。 (1) $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ (2) 問題文後半より、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ を例6を踏まえて確認すること。

1. 問題の内容

問題は、以下の2つのド・モルガンの法則を、図を用いて確認することです。

(1) $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

(2) 問題文後半より、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ を例6を踏まえて確認すること。

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ の確認:

1. 全体集合 $U$ の中に、集合 $A$ と集合 $B$ が存在するものとします。

2. まず、$A \cap B$ を図示します。これは、$A$ と $B$ の共通部分です。

3. 次に、$\overline{A \cap B}$ を図示します。これは、$A \cap B$ 以外の部分、つまり、$U$ から $A \cap B$ を除いた部分です。

4. 次に、$\overline{A}$ を図示します。これは、$A$ 以外の部分です。

5. 同様に、$\overline{B}$ を図示します。これは、$B$ 以外の部分です。

6. $\overline{A} \cup \overline{B}$ を図示します。これは、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合です。つまり、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の少なくとも一方に含まれる部分です。

7. $\overline{A \cap B}$ の図と、$\overline{A} \cup \overline{B}$ の図を比較します。これらが同じ領域を表していれば、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことを確認できます。

(2) $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ の確認:

1. 全体集合 $U$ の中に、集合 $A$ と集合 $B$ が存在するものとします。

2. まず、$A \cup B$ を図示します。これは、$A$ と $B$ の和集合です。

3. 次に、$\overline{A \cup B}$ を図示します。これは、$A \cup B$ 以外の部分、つまり、$U$ から $A \cup B$ を除いた部分です。

4. 次に、$\overline{A}$ を図示します。これは、$A$ 以外の部分です。

5. 同様に、$\overline{B}$ を図示します。これは、$B$ 以外の部分です。

6. $\overline{A} \cap \overline{B}$ を図示します。これは、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の共通部分です。つまり、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる部分です。

7. $\overline{A \cup B}$ の図と、$\overline{A} \cap \overline{B}$ の図を比較します。これらが同じ領域を表していれば、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ が成り立つことを確認できます。

(例6の内容が不明なため、例6を踏まえた確認は省略します。)

3. 最終的な答え

図示による確認により、以下の2つのド・モルガンの法則が成り立つことが確認できます。

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$