集合 $A$ と集合 $B$ があり、$n(A) = 7$、$n(B) = 10$ であるとき、$n(A \cap \overline{B})$ と $n(A \cup B)$ の取りうる値を求める問題です。ただし、$n(X)$ は集合 $X$ の要素の個数を表し、$\overline{B}$ は集合 $B$ の補集合を表します。

1. 問題の内容

集合 $A$ と集合 $B$ があり、$n(A) = 7$、$n(B) = 10$ であるとき、$n(A \cap \overline{B})$ と $n(A \cup B)$ の取りうる値を求める問題です。ただし、$n(X)$ は集合 $X$ の要素の個数を表し、$\overline{B}$ は集合 $B$ の補集合を表します。

2. 解き方の手順

まず、$n(A \cap \overline{B})$ を考えます。これは、$A$ に含まれるが $B$ に含まれない要素の数です。これは、$n(A)$ から $A$ と $B$ の共通部分の要素の数を引いたものに等しくなります。すなわち、

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

次に、$n(A \cup B)$ を考えます。これは、集合 $A$ と集合 $B$ の和集合の要素の数であり、包含と排除の原理より、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A)=7, n(B)=10$ を代入すると

$n(A \cup B) = 7 + 10 - n(A \cap B) = 17 - n(A \cap B)$

ここで、$n(A \cap B)$ は、$0$ から $n(A)$ までの値を取りえます。つまり、$0 \le n(A \cap B) \le 7$ です。

(1) $n(A \cap \overline{B})$ の取りうる値の範囲を考えます。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B) = 7 - n(A \cap B)$

$0 \le n(A \cap B) \le 7$ より、

$7 - 7 \le 7 - n(A \cap B) \le 7 - 0$

$0 \le n(A \cap \overline{B}) \le 7$

(2) $n(A \cup B)$ の取りうる値の範囲を考えます。

$n(A \cup B) = 17 - n(A \cap B)$

$0 \le n(A \cap B) \le 7$ より、

$17 - 7 \le 17 - n(A \cap B) \le 17 - 0$

$10 \le n(A \cup B) \le 17$

したがって、$n(A \cap \overline{B})$ は 0 から 7 までの整数値をとり、$n(A \cup B)$ は 10 から 17 までの整数値をとります。

3. 最終的な答え

$n(A \cap \overline{B})$ の取りうる値：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

$n(A \cup B)$ の取りうる値：10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17