全体集合$U = \{1, 2, ..., 25\}$とする。$1 \le k \le 9$を満たす自然数$k$に対して、$A = \{n \mid n = 2k+1\}$、$B = \{n \mid n = 3k-2\}$と定義する。 以下の集合の要素の個数を求めよ。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cup B$ (4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合$U = \{1, 2, ..., 25\}$とする。$1 \le k \le 9$を満たす自然数$k$に対して、$A = \{n \mid n = 2k+1\}$、$B = \{n \mid n = 3k-2\}$と定義する。

以下の集合の要素の個数を求めよ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cup B$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、$A$と$B$の要素を具体的に列挙する。

$A = \{2k+1 \mid 1 \le k \le 9\} = \{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\}$

$B = \{3k-2 \mid 1 \le k \le 9\} = \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25\}$

(1) $A \cap B$は$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合である。

$A \cap B = \{7, 13, 19\}$

よって、$n(A \cap B) = 3$

(2) $A \cup B$は$A$または$B$に含まれる要素の集合である。

$A \cup B = \{1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 22, 25\}$

よって、$n(A \cup B) = 15$

(3) $\overline{A} \cup B$を求める。$\overline{A}$は$U$の中で$A$に含まれない要素の集合である。

$U = \{1, 2, ..., 25\}$より、$n(U) = 25$、$n(A) = 9$

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A) = 25 - 9 = 16$

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25\}$

$\overline{A} \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25\}$

よって、$n(\overline{A} \cup B) = 19$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$を求める。ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$

$n(A \cup B) = 15$なので、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 25 - 15 = 10$

よって、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 10$

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B) = 3$

(2) $n(A \cup B) = 15$

(3) $n(\overline{A} \cup B) = 19$

(4) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 10$